Nombre de diviseurs

Propriété

Tout entier  $a$ non nul a un nombre fini de diviseurs.
Autrement dit, pour tout $a\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}$ , l’ensemble $\mathcal{D}(a)$ est fini.
Plus précisément : $\mathcal{D}(a)\subset [-a;a]$ et  $a$ possède au maximum  $2a$ diviseurs.

Démonstration

Soit $a\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$ . Soit $d\in \mathcal{D}(a)$ un diviseur de $a$ . Il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=kd$ . Comme $a\ne 0$ , on sait que $d\ne 0$ et $k\ne 0$ .

• Cas où  $d>0$  :
  Comme $a=kd>0$ , on a aussi $k>0$ (en fait, $k⩾1$ ).
  On a alors :  $k⩾1⟺kd⩾d⟺a⩾d$  
  car $d>0$ . Ainsi, $d⩽a$ .
  
• Cas où  $d<0$  :
  Comme $a=kd>0$ , on a aussi $k<0$ (en fait, $k⩽-1$ ).
  On a alors :  $k⩽-1⟺kd⩾-d⟺a⩾-d⟺-a⩽d$
  car $d<0$ . Ainsi, $d⩾-a$ .
  

On a donc $-a⩽d⩽a$ , et donc $\mathcal{D}(a)\subset [-a;a]$ .
L’intervalle $[-a;a]$ contient $2a+1$ entiers, mais $0$ n’est pas un diviseur de $a$ , donc il y a seulement  $2a$ potentiels diviseurs de $a$ dans cet intervalle.
Enfin, si $a\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}$ est négatif, alors $\mathcal{D}(a)=\mathcal{D}(-a)$ avec $-a\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$ , donc $\mathcal{D}(a)\subset [-a;a]$ .